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数学:一元二次方程解决问题(组图)
11-03     (点击: )

数学:一元二次方程解决问题(组图)

 
 

数学:一元二次方程解决问题(组图)

 
 

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数学:一元二次方程解决问题(组图)

 
 

数学:一元二次方程解决问题(组图)

 
 
  中高考名师团成员

  陈卫娟

  自2001年参加工作以来,有5年任教初三毕业班,发表论文多篇。2005年获维扬区说课比赛一等奖,2009年获扬州市直中学青年数学教师优质课比赛一等奖,2009年在扬州市初中数学学科命题大赛中获得一等奖。

  列一元二次方程解决实际问题是一个难点,但在中考试题中经常出现,解应用题的一般步骤可概括为“审、设、列、解、答”五步。

  审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知量和未知量,以及它们之间的等量关系。

  设:是指设未知数,注意写清单位名称。一道应用题,往往含有几个未知量,应恰当地选择其中一个用字母表示,然后根据各量之间的关系,将其他的未知量用代数式表示出来。

  列:就是列方程,根据题目中的等量关系,用代数式表示相等关系中的各个量,就可得到含有未知数的等式,即方程。

  解:就是解方程,求出未知数的值,通常根据方程的特征选用合适的方法来解。

  答:一般遵循“问什么答什么,怎样问怎样答”的原则,但要注意舍去不符合实际意义的解。

  热点题型

  热点一:用一元二次方程解容积、面积问题

  在实际生活中,有许多可以用一元二次方程来解决的问题,这类问题主要是将数字与数字间的关系隐藏在图形中,用图形表示出来,这样的图形主要是三角形、四边形,涉及到的计算有三角形的三边不等关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等。解决此类问题关键要记住有关的几何定理、面积和体积公式。

  例1、一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500cm3的无盖长方体容器,求这块铁皮的长和宽。

  解:设这块铁皮的宽为xcm.

  5(2x-10)(x-10)=500

  ∴x1=15,x2=0(不合题意,舍去)

  ∴2x=30

  答:这块铁皮的长为30cm,宽为15cm

  练习1:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下的部分化为耕地,要使耕地的面积为540m2,道路的宽应为多少?(答案:2m)

  点拨:注意将两条小路分别向上和向左平移,可将这类问题变得简单。

  练习2:一块矩形的地,长是24米,宽是12米,要在它的中央划一块矩形的花坛,四周铺上草地,其宽都相同,花坛占大块矩形面积的5/9,求草地的宽。(答案:2m)

  热点二:用一元二次方程解增长率问题

  方法指导:增长率问题,利用关系式:变化前数量×(1±x)2=变化后的数量。用一元二次方程解增长率问题时往往可以直接运用开平方法来解方程,注意要考虑最后的解是否都符合实际意义。

  例1、在国家政策的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2

  (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?(参考数据:

  ≈0.95)

  (2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2?请说明理由。

  (1)解:设4、5两月平均每月降价的百分率为x,根据题意,得

  14000(1-x)2=12600

  化简,得(1-x)2=0.9

  解得x1≈0.05,x2≈1.95(不合题意,舍去)

  因此,4、5两月平均每月降价的百分率约为5%

  (2)解:如果按此降价的百分率继续回落,估计7月份的商品房成交均价为

  12600(1-x)2=12600×0.9=11340>10000

  由此可知,7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/㎡

  练习:

  1.(2010年四川成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆。

  (1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率;

  (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。

  解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x。根据题意,得

  150(1+x)2=216

  解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去)。

  答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。

  (2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为216×90%+y万辆,2011年底全市的汽车拥有量为(216×90%+y)×90%+y万辆。根据题意得

  (216×90%+y)×90%+y≤231.96

  解得y≤30

  答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。

  热点三:用一元二次方程解利润问题

  关键:单件商品的利润×商品总件数=总利润

  例1、(2010年浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间。据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出。每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。

  (1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?

  (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元?

  解:(1)∵30000÷5000=6,∴能租出24间。

  (2)设每间商铺的年租金增加x万元,则

  (30- )×(10+x)-(30-

  )×1- ×0.5=275,

  2x2-11x+5=0,∴x=5或0.5,

  ∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元。

  练习1、某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施。经调查发现,在一定的范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元,衬衫的单价应降多少元?(答案:10元或者20元)

  练习2、某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓是单价为40元,设第二个月单价降低x元。

  (1)填表(不需化简)

  时间 第一个月 第二个月 清仓时

  单价(元) 80 40

  销售量(件) 200

  (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?

  答案:

  (1)80-x,200+10x,800-200-(200+10x)

  (2)70元

  热点四:一元二次方程与动态几何问题

  方法指导:较为复杂的一元二次方程在几何图形上的应用,往往要借助一些几何知识,如面积公式、勾股定理、相似等。解决此类问题的关键:观察图形,根据等量关系列出方程。

  例1、如图所示,在ABC中,∠B=90°AB=5cm,BC=7cm。点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。

  (1) 如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,PBQ的面积等于4cm2?

  (2) 小明在解答上述问题时,求得SPBQ=7cm2请你判断一下,他做得对吗?并说明理由。

  答案(1)1s(2) PBQ的面积不可能等于7cm2。

  练习1、如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止;点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?

  (答案:1.6或4.8)

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